Signifikanz-Test für Mittelwerte

Um zu testen, ob die Mittelwerte zweier voneinander abhängiger Verteilungen signifikant verschieden sind, wird der Student-t-Test für abhängige Stichproben verwendet. $X=(X_1,...,X_n)$ und $Y=(Y_1,...,Y_n)$ seien Zufallsvariablen mit den Mittelwerten $\mu_x$ und $\mu_y$, und D die Differenz $D=X-Y$. $D_1,...,D_n$ seien unabhängig, identisch $N(\mu_d,\sigma^2)$-verteilt. Die zu testende Hypothese $H_1$ sei $\mu_x > \mu_y$, also $\mu_d > 0$. Die Nullhypothese ist $H_0: \mu_d \leq 0$. $d=(d_1,...d_n)$ sei eine Realisierung der Zufallsvariable D (Stichprobe). Die $\alpha$-Fehlerwahrscheinlichkeit (Wahrscheinlichkeit, die Nullhypothese fälschlicherweise zu verwerfen) berechnet sich dann mit:

$$\alpha = P(H_0) = t_{n-1}(T[d])$$ (12)

$$mit T[d] = \sqrt{n}\frac{\bar{d}}{\hat{\sigma}}$$

$$\bar{d} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n d_i$$

$$\hat{\sigma} = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(d_i-\bar{d} )^2}$$

$$t_{n-1}(T) :$$ Verteilungsfunktion der t-Verteilung für (n-1) Freiheitsgrade

Bei großen n geht die Verteilung der Differenzen gegen die Normalverteilung (zentraler Grenzwertsatz). Bei kleinen Stichprobenumfängen (n<30) muss die Voraussetzung erfüllt sein, dass sich die Differenzen in der Grundgesamtheit normalverteilen [Bor99].