Ideale Interpolation durch Faltung mit $\frac{\sin x}{x}$

Die berechneten Karten zur Charakterisierung der Orientierungs- und Ortsfrequenzempfindlichkeit wurden durch Faltung mit $\frac{\sin x}{x}$ ideal interpoliert. Falls das Abtast-Theorem eingehalten wurde, kann man mittels idealer Interpolation das kontinuierliche Ausgangs-Signal exakt zurückgewinnen [Lük79]. Eine weitere Eigenschaft dieser Methode ist, dass an den Abtaststellen der Wert der interpolierten Funktion mit den Abtastwerten übereinstimmt. Für eine eindimensionale Funktion $s(nT),\; n\in \Bbb{N}$, deren Werte an den Stellen nT bekannt sind, wird die kontinuierliche, interpolierte Funktion $s(t)$ berechnet mit:

$$s(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} s(nT) \cdot \left( \pi \frac{t-nT}{T} \right)$$ (10)

$$\; (x) = \frac{\sin x}{x}$$

Die interpolierte Funktion $s(t)$ kann dann mit der gewünschten höheren Auflösung abgetastet werden. Bei einer zweidimensionale Funktion $s(n_1T_1,n_2T_2), \; n_1,n_2 \in \mathbb{N}$ wird zunächst jede Zeile $n_2$ über die Spalten $n_1$ interpoliert. Man erhält für jede Zeile $n_2$ eine Funktion $s(t_1,n_2 T_2)$. Diese wird in der gewünschten Auflösung abgetastet und dann spaltenweise interpoliert.

Abbildung: Ideale Interpolation durch Faltung mit $\frac{\sin x}{x}$. Links: Jeder Reizkombination aus Ortsfrequenz und Orientierung ist ein Aktivitätswert $A(\omega , \alpha )$ zugeordnet (diskretes $8\times 4$-Gitter). Rechts: Durch ideale Interpolation kann auch der Verlauf zwischen den Gitterpunkten bestimmt werden (vorausgesetzt, das Abtasttheorem wurde eingehalten [Lük79]).

Aus diesen Karten kann man ablesen, auf welche Kombination von Ortsfrequenz und Orientierung die Neuronengruppe in der Nähe der Elektrodenspitze in dem gewählten Zeitintervall am stärksten reagiert. Die optimale Ortsfrequenz $\omega_{opt}$ und die optimale Orientierung $\alpha_{opt}$ wurden definiert als die Werte $\omega$ und $\alpha$, bei denen A$(\omega, \alpha)$ maximal wird:

$$(\omega_{opt},\alpha_{opt}) = \max\big[ (\omega, \alpha)\big].$$ (11)

Um die Bandbreite der Ortsfrequenz-Charakteristik zu bestimmen, wurde die Antwortstärke A$(\omega_{opt},\alpha_{opt})$ über die Orientierungen gemittelt, und dann jeweils die untere ( $\omega_{ug}$) und obere Grenze ( $\omega_{og}$) berechnet, wo die Antwortstärke nur noch den halben Wert zwischen Minimum und Maximum von A$(\omega_{opt},\alpha_{opt})$ hat. Die Bandbreite wurde definiert als B$=\log_2\frac{\omega_{og}}{\omega_{ug}}$ in Oktaven angegeben [Fos85].